Fraktali

Metoda fraktalnog crteža

Fraktali, samosličnost i crtanje kao način istraživanja cjeline kroz dio

Fraktali su oblici čija se struktura ponavlja u različitim mjerilima. Nalazimo ih u prirodi, matematici i umjetnosti, a od 1991. godine i u psihološkoj metodi crtanja koju su razvili Tanzilija Polujahtova i A. E. Komov. Ova stranica pregled je tih područja i polazište za podstranice i blog na kojima se svako od njih obrađuje detaljnije.

Što su fraktali

Pojam fraktal 1975. godine uveo je matematičar Benoît Mandelbrot, prema latinskom pridjevu fractus (slomljen, nepravilan). Mandelbrot je uočio da klasična euklidska geometrija, sa svojim pravcima, krugovima i kvadratima, slabo opisuje oblike iz prirode. Oblak nije kugla, planina nije stožac, a obala nije ravna crta. Zamisao je 1982. godine sustavno izložio u knjizi The Fractal Geometry of Nature.

Fraktal je oblik čiji su dijelovi, promatrani u manjem mjerilu, slični cjelini. Ta se osobina zove samosličnost. Zbog nje fraktal ostaje složen bez obzira na to koliko mu se približimo, jer se i u najmanjem dijelu nalaze novi detalji.

[Saznaj više: Što su fraktali – osnove]

Točna i statistička samosličnost

Točna samosličnost javlja se u matematičkim fraktalima poput Kochove pahulje, Sierpińskijeva trokuta i Cantorova skupa. Nastaju iteracijom, odnosno ponavljanjem istog jednostavnog pravila na sve manjim dijelovima oblika. Svaka sljedeća razina točna je umanjena slika prethodne.

Na slici Kochov fraktal – izvor: https://www.enciklopedija.hr/clanak/kochov-fraktal

Na slici je Sierpinski trokut – izvor: https://hr.wikipedia.org/wiki/Trokut_Sierpi%C5%84skog

Na slici je Cantorov skup – izvor: https://hr.wikipedia.org/wiki/Cantorov_skup

Statistička samosličnost javlja se u prirodi. Grana stabla nije točna kopija debla, ali se obrazac grananja prepoznaje na više razina, od debla do najtanje grančice. Prirodni fraktali samosliče samo unutar ograničenog raspona mjerila, za razliku od idealnih matematičkih fraktala koji se ponavljaju neograničeno.

[Saznaj više: Matematički i prirodni fraktali]

Fraktalna dimenzija

Složenost fraktala može se izraziti brojem koji se zove fraktalna dimenzija. Crta ima dimenziju 1, ploha dimenziju 2, a fraktalna krivulja može imati dimenziju između njih. Što je krivulja razvedenija i više ispunjava prostor, to je njezina dimenzija bliža 2. Primjerice, Kochova krivulja ima dimenziju približno 1,26, a Sierpińskijev trokut približno 1,58.

Slično vrijedi za prirodne oblike. Mandelbrot je 1967. godine u radu o duljini obale Britanije pokazao da izmjerena duljina obale ovisi o mjerilu kojim se mjeri, što je jedan od temelja fraktalne geometrije. Fraktalna se dimenzija danas izračunava i za slike, pa se koristi i u analizi umjetničkih djela.

[Saznaj više: Što znači fraktalna dimenzija]

Fraktali u prirodi

Fraktalne strukture nalazimo u grananju stabala i krvnih žila, u žilama lista, u građi pluća, u riječnim slivovima, obalnim crtama, planinskim lancima, munjama i oblacima. Zajednička im je logika rasta: jednostavno pravilo koje se ponavlja stvara složen, a ipak uravnotežen oblik.

[Saznaj više: Fraktali oko nas]

Fraktali, oko i mozak

Fizičar Richard Taylor sa suradnicima istražuje kako ljudski vizualni sustav doživljava fraktalne uzorke. Rezultati pokazuju da ljudi uglavnom preferiraju uzorke niske do srednje fraktalne dimenzije, onakve kakvi se često javljaju u prirodnim prizorima. Taylor je predložio da je oko tijekom evolucije prilagođeno takvim strukturama te je taj učinak nazvao fraktalna fluentnost (engl. fractal fluency), što znači da ih vizualni sustav obrađuje s manje napora.

Dio istraživanja povezuje promatranje takvih uzoraka sa smanjenjem stresa. Riječ je o području koje se još proučava i čije zaključke treba tumačiti oprezno.

[Saznaj više: Fraktali, oko i mozak]

Fraktali u umjetnosti

Fraktalni obrasci u umjetnosti postojali su i prije nego što je za njih postojala teorija: u ornamentici, arhitekturi i slikarstvu. Taylorova analiza slika Jacksona Pollocka, u kojoj su u tehnici kapanja boje pronađeni fraktalni uzorci, bila je među prvim primjenama fraktalne analize na umjetnička djela. U digitalnoj umjetnosti fraktali su postali samostalan likovni izraz, a Mandelbrotov i Juliajev skup smatraju se njegovim simbolima. Takva je umjetnost najčešće računalno generirana i rijetko se crta ručno.

[Saznaj više: Fraktali u umjetnosti]

Metoda fraktalnog crteža

Metodu fraktalnog crteža razvili su psiholozi Tanzilija Polujahtova i A. E. Komov. Polujahtova je klinička psihologinja i pedagoginja, a metoda se razvija od 1991. godine. Autori su je opisali u knjizi Izvornik fraktalne mudrosti ili nov pogled na naše mogućnosti, koja je 2014. objavljena u Zagrebu u prijevodu Ivane Mihaljević i Tomislava Turkovića (nakladnik: Puni Potencijal j.d.o.o.). Metoda se koristi u okviru art-terapije i psihološkog rada, među ostalim i s djecom.

Naziv se oslanja na ideju fraktala: dio odražava cjelinu, a pojedinačni crtež shvaća se kao mali izraz šire cjeline. Za razliku od matematičkih fraktala, koji nastaju iz formula, metoda se temelji na crtanju linija i boja u strukturiranom procesu. [Ovdje dodati kratak opis postupka: vrste crteža, cikluse i materijale.]

Autori i praktičari metodu opisuju kao način opuštanja, samoistraživanja i razvoja kreativnosti. Ti su opisi dio prakse i iskustva korisnika, a ne rezultat neovisnih znanstvenih istraživanja. Metoda se zato na ovoj stranici predstavlja kao autorski psihološki pristup, a ne kao dokazana terapijska intervencija.

[Saznaj više: Kako funkcionira metoda]
[Postupak i materijali]
[Primjeri crteža]

Gdje je granica između matematike i metode

Matematički fraktali i metoda fraktalnog crteža povezani su idejom samosličnosti, ali nisu ista stvar. Mandelbrotova geometrija i Taylorova istraživanja percepcije odnose se na oblike i njihovu vizualnu obradu. Metoda Tanzilije Polujahtove i A. E. Komova psihološki je pristup koji ideju fraktala koristi kao polazište za rad s crtežom. Zato se ove teme na stranici obrađuju odvojeno, a svaka tvrdnja pripisana je izvoru iz kojeg dolazi.

Što slijedi na ovoj stranici

Ova je stranica polazna točka. Podstranice detaljnije obrađuju matematičke osnove, fraktale u prirodi i umjetnosti, percepciju te samu metodu crtanja. Blog donosi kraće tekstove, primjere i bilješke iz prakse.

Literatura

• Mandelbrot, B. B. (1982). The Fractal Geometry of Nature. New York: W. H. Freeman.
• Mandelbrot, B. B. (1967). How Long Is the Coast of Britain? Statistical Self-Similarity and Fractional Dimension. Science, 156.
• Polujahtova, T., Komov, A. E. (2014). Izvornik fraktalne mudrosti ili nov pogled na naše mogućnosti. Prijevod: Ivana Mihaljević, Tomislav Turković. Zagreb: Puni Potencijal j.d.o.o.
• Taylor, R. P. i suradnici: radovi o fraktalnoj analizi Pollockovih slika i fraktalnoj fluentnosti. [Dodati točne reference.]